max ter mtas visitas é bom, pode é requerer trabalho mais especializado para resolver...
mtas vezes um bom sistema de cache resolve, mtas vezes um bom cpu resolve, mtas vezes um disco mais rápido resolve... cada caso é um caso
Provavelmente necessitarás de uma boa VPS para esse tipo de utilização (2GB de RAM garantida e se possível dois cores). Esses picos apenas poderão ser ultrapassados com uma boa solução de webserver (ex: nginx) e, conforme o kaydara te sugeriu, com módulos de caching como o APC, caching de query´s MySQL, etc... Para caching, precisas de RAM.
O ideal será apresentares o problema ao teu host e pedires um orçamento para uma solução que o aguente.
A única coisa que ultrapassava os limites era a RAM, sempre ultrapassava 1GB, podia estar durante 2 dias a usar nos maximos 30% dos recursos, mas do nada durante 5 segundos, usaria mais de 100% da RAM por exemplo.
Sendo que um VPS com 1GB de RAM e com o sugerido conseguiria pagar, agora a partir dai começa a fazer-se sentir um peso que o site não conseguirá rentabilizar com 5mil visitantes por dia sendo um fórum. Na host em que estou já fiz muita coisa para tentar, desde caches, cloudflares, e outros tipos de optimização.
Agora a Liquidweb ofereçeu um voucher de 80 Dolares, para durante 1 mês gratuitamente usar um VPS deles, eles vão migrar o site, e vamos ver durante um tempo de isto voltará a acontecer, caso sim, eles também disseram que ajudarão a resolver.
Esta Host Liquidweb está a mostrar-se mesmo muito útil no caso, apesar de mais cara, dão-se ao trabalho de fazer as coisas para resolver os problemas, mesmo quando não tem diretamente nada a ver com eles.