Um domínio é uma entidade na web, um nome. O primeiro a chegar ao domínio é quem fica com ele, no entanto para não ficares sem ele precisas de o ir renovando e não infringir nenhuma das regras dos domínios...
Exemplo de domínio: nome.com ou nome.net
Existe muitos benefícios, o nome (dominio) passa a ser teu, onde quer que estejas alojado, podes usar o teu domínio, e assim não precisas de estar dependente dos domínios do teu alojamento e andar sempre a mudar, existe também beneficio para motores de busca e etc.
Sobre o que é ter um domínio, com o caso mais recente da CoreSP, secalhar nem sempre o domínio fica teu, pois algumas empresas registam os domínios no seu nome e fica bastante difícil recuperar e transferir os domínios, pois ficas dependente, a não ser que confies em 100% na empresa, o que é sempre difícil, as coisas mudam, e só quando há problemas é que as pessoas percebem os erros que fazem, infelizmente é assim.