Ou usas
<blockquote></blockquote> (citações grandes) ou usas
<q></q> (pequena citação). Acho que não existe a tag <quote></quote>.
Depois, caso ainda não esteja, podes ter que definir um estilo para essas tags no css tipo:
blockquote {background-color: #f0f0f0; text-style: italic;}
E não tem nada a ver com o Joomla.
Quanto aos vídeos, apesar de não ter percebido bem o problema, suponho que seja por estares a utilizar um editor wysywig. Já não faço isso à muito tempo, mas lembro-me que se usasse um editor , mesmo colocando o código através da opção HTML do próprio editor, ele acabava por estragar tudo.
Existem plugins para colocares vídeos do youtube facilmente. Como por exemplo o
Allvideos em que usas apenas um tag deste género: {youtube}heu37ej3qs{/youtube}.